Rozdělení pravděpodobnosti některých statistik

Rozdělení pravděpodobnosti statistik prostého náhodného výběru je nutno konstruovat pro každé rozdělení pravděpodobnosti základního souboru zvlášť. Nejznámější jsou rozdělení pravděpodobnosti pro statistiky výběrů z normálního rozdělení.

Příklad Nalezněte rozdělení průměru prostého náhodného výběru o rozsahu $n$ z Poissonova rozdělení s parametrem $\lambda$.

Řešení Nejsnadněji lze takovou úlohu řešit s použitím charakteristické funkce (příp. momentové vytvořující funkce). Už dříve jsme ukázali, že charakteristická funkce sumy po dvou navzájem nezávislých veličin je součinem jejich charakteristických funkcí.

Charakteristická funkce Poissonova rozdělení je

$$\Psi_X (t) = {\rm E} \left[ \exp (i t x) \right] = \sum_{x=0}... ...lambda^x}{x!} = \exp \left[ \lambda ({\rm e}^{it} - 1) \right]$$

Charakteristická funkce výběrového úhrnu $T = \sum_{i=1}^n X_i$ je

$$\Psi_T (t) = \left[ \Psi_X (t) \right]^n = \left\{ \exp \left... ... \right\}^n = \exp \left[ n \lambda ({\rm e}^{it} - 1) \right]$$

Výběrový úhrn $T$ má tedy Poissonovo rozdělení s parametrem $n\lambda$. Výběrový průměr $\overline{X} = T/n$ má tedy rozdělení pravděpodobnosti

$$P(\overline{X} = w) = P(T = nw) = {\rm e}^{- n \lambda} \frac... ... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w = 0,\ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n},\ \dots$$

Výběrový průměr $\overline{X}$ normálního rozdělení $N(\mu,\sigma^2)$ má normální rozdělení $N(\mu,\sigma^2/n)$ se střední hodnotou $E\overline{X} = \mu$ a rozptylem $D\overline{X} = \sigma^2/n$.

Odvození: Výběrový úhrn $T = \sum_{i=1}^n X_i$ má charakteristickou funkci

$$\Psi_T (t) = \left[ \exp(i \mu t - \sigma^2 t^2/2) \right]^n = \exp(i n \mu t - n \sigma^2 t^2/2)$$

Výběrový úhrn $T$ má tedy normální rozdělení $N(n\mu, n \sigma^2)$ se střední hodnotou $ET = n\mu$ a rozptylem $DT = n \sigma^2$. Po transformaci $\overline{X} = T/n$ dostáváme výše uvedené normální rozdělení.