Studentovo $t$-rozdělení

Studentovo $t_\nu$-rozdělení o $\nu$ stupních volnosti má hustotu pravděpodobnosti definovanou vztahem

$$f_\nu (t) = \frac{1}{\sqrt{\nu}\ B\left( \frac{\displaystyle ... ...le \nu}}\right)^{\frac{{\scriptstyle \nu+1}}{\scriptstyle 2}}}$$

kde $B(a,b) = \Gamma (a) \Gamma (b) / \Gamma (a+b)$.
Limitou Studentova rozdělení pro $\nu \rightarrow \infty$ je normální rozdělení $N(0,1)$.

Rozdělení odchylky průměru od střední hodnoty

Nechť $\{ X_{1},X_{2},\dots,X_{n} \}$ je prostý výběr z normálního rozdělení $N(\mu,\sigma^2)$, nechť $\overline{X}$ je výběrový průměr a nechť $S$ je výběrová směrodatná odchylka. Pak veličina

$$t = \frac{(\overline{X} - \mu) \sqrt{n}}{S}$$

má Studentovo rozdělení s $\nu = n-1$ stupni volnosti.

Pozn. Veličina $t$ je vlastně relativní odchylka výběrového průměru - odchylka průměru od střední hodnoty dělená odhadovanou směrodatnou odchylkou $S/\sqrt{n}$ výběrového průměru.

Odvození Veličina $N = (\overline{X} - \mu) \sqrt{n}/\sigma$ má rozdělení $N(0,1)$ a veličina $U = (n-1) S^2/\sigma^2$ má rozdělení $\chi^2 (n-1)$. Tyto veličiny jsou navzájem nezávislé a lze tedy sestrojit hustotu pravděpodobnosti $f(N,U)$. Veličina $t = \sqrt{n-1} N/\sqrt{U}$, provedeme transformací proměnných, Jacobián transformace $J = \partial (N,U)/ \partial (t,U) = \sqrt{U}/\sqrt{n-1}$. Dvourozměrnou rozdělovací funkci $g(t,U)$ integrujeme přes proměnnou U.