Funkce náhodného vektoru

Nechť je dána lineární funkce $h(x,y) = aX + bY$ ($a,\ b$ jsou konstanty). Pak

$$Eh(X,Y) = E(aX + bY) = a\, EX + b\, EY$$

$$Dh(X,Y) = E(aX + bY - a\, EX - b\, EY)^2 =$$

$$= a^2\; E(X-EX)^2 + b^2\; E(Y-EY)^2 +$$

$$+ 2ab\; E\left[ (X-EX)(Y-EY) \right] = a^2\; DX + b^2\; DY + 2ab\; d_{XY}$$

Nechť jsou náhodné veličiny $X$, $Y$ nezávislé, nechť $Z = h(x,y) = aX + bY$. Pak charakteristická funkce

$$\Psi_Z (t) = \Psi_X (at) \cdot \Psi_Y (bt)$$

Pro obecnou funkci $Z = h(x,y)$ je distribuční funkce náhodné veličiny $Z$ dána vztahem

$$F_Z (z) = P((X,Y);\ h(X,Y) \le z)$$

což je pro diskrétní (resp. spojité) rozdělení

$$F_Z (z) = \sum_{h(x_i,y_j) \le z} p_{ij} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ... ... \ \ F(z) = \int \int_{h(x,y) \le z} f(x,y)\; {\rm d}x {\rm d}y$$

Vzájemně jednoznačné zobrazení z ${\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$ je dáno předpisem $Z = h_1 (X,Y)$, $W = h_2 (X,Y)$. Existuje tedy inverzní zobrazení $X = h_1^{-1} (Z,W)$, $Y = h_2^{-1} (Z,W)$. Pokud pro daný bod $(z,w)$ existuje Jacobián

$$J = \left\vert \begin{array}{cc} \frac{\displaystyle\partial ... ...al h_2^{-1}}{\displaystyle\partial w} \end{array} \right \vert$$

pak lze hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru $(Z,W)$ vyjádřit

$$f_{ZW} (z,w) = f_{XY} (h_1^{-1} (z,w),\; h_2^{-1} (z,w)) \cdot \vert J\vert$$

Přibližné stanovení charakteristik funkce náhodného vektoru
Nechť je dána funkce $Z = h(X,Y)$. Nechť jsou známy $EX$, $EY$, $DX$, $DY$, $d_{XY}$ a nechť $CX \ll 1$, $CY \ll 1$. Pokud nejsou k dispozici žádné jiné informace, pak lze přibližně odhadnout

$$EZ \simeq h(EX,EY) + \frac{DX}{2} \left. \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} ... ... \frac{DY}{2} \left. \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} \right\vert _{(EX,EY)} +$$

$$+ d_{XY} \left. \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y}\right\vert _{(EX,EY)} \simeq h(EX,EY)$$

$$DZ \simeq DX \left. \left( \frac{\partial h}{\partial x} \rig... ...Y)} \left. \frac{\partial h}{\partial y}\right\vert _{(EX,EY)}$$