Zákony velkých čísel

Bernoulliova věta - Nechť $\xi$ je veličina s alternativním rozdělením (0,1) s pravděpodobností $p$. Nechť je provedeno $N$ po dvou vzájemně nezávislých pokusů a nechť $s_N = \xi_1 + \xi_2 + \dots + \xi_N$. Pak pro $\forall \varepsilon > 0$ je

$$P \left( \left\vert \frac{s_N}{N} - p \right\vert \le \varepsilon \right) \ge 1 - \frac{p(1-p)}{N \varepsilon^2}$$

a v limitě je

$$\lim_{N \rightarrow \infty} P\left( \left\vert \frac{s_N}{N} - p \right\vert > \varepsilon \right) = 0$$

Pravděpodobnost úspěchu lze opakováním pokusů stanovit s libovolnou přesností pomocí relativní četnosti.

Čebyševova věta - Nechť $\{ \xi_k \}$ je posloupnost po 2 navzájem nezávislých náhodných veličin se středními hodnotami $\mu_k$ a s disperzemi $D\xi_k \le C$. Pak $\forall \varepsilon > 0$

$$P \left( \left\vert \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N (\xi_k - \mu_k) ... ...\vert \le \varepsilon \right) \ge 1 - \frac{C}{N \varepsilon^2}$$

a v limitě

$$\lim_{N \rightarrow \infty} P\left( \left\vert \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N (\xi_k - \mu_k) \right\vert > \varepsilon \right) = 0$$

Centrální limitní teorém - Nechť po 2 navzájem nezávislé náhodné veličiny $X_i$ mají stejná rozdělení se střední hodnotou $EX_i = \mu$ a rozptylem $DX_i = \sigma^2 < +\infty$. Pak pro $n \rightarrow \infty$ se rozdělení veličiny $\overline{x}_n = s_n/n$ blíží normálnímu rozdělení $N(\mu,\sigma^2/n)$ se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $D = \sigma^2 / n$.