Charakteristiky náhodného vektoru

Obecné a centrální momenty - Kromě momentů náhodných veličin $X$, $Y$ jsou ještě definovány smíšené momenty, např. smíšený počáteční moment $\mu'_{kn} = E(X^k \cdot Y^n)$. Z počátečních momentů jsou nejpoužívanější střední hodnoty $\mu_X = EX$ a $\mu_Y = EY$, z centrálních momentů rozptyly $DX$ a $DY$.

Kovariance - smíšený centrální moment 2. řádu - nejjednodušší charakteristika souvislosti 2 náhodných veličin

$$\mu_{11} = E\left[ (X - EX)(Y-EY) \right] \equiv d_{XY} \equiv {\rm Cov}(X,Y)\ \ .$$

Kovariance kladná - se zvětšením $X$ se pravděpodobně zvětší i $Y$.
Kovariance záporná - se zvětšením $X$ se pravděpodobně $Y$ zmenší.

Kovarianční matice

$$\cal{D} = \left( \begin{array}{cc}DX & d_{XY} \\ d_{XY} & DY \end{array}\right)$$

Matice centrálních momentů 2. řádu - na diagonále rozptyl, mimo kovariance, v této souvislosti se někdy označuje $DX \equiv d_{XX}$.

Lineární korelační koeficient

$$\rho_{XY} = \frac{d_{XY}}{\sqrt{DX \cdot DY}}$$

Je-li $\rho_{XY} = 0$, náhodné veličiny $X$, $Y$ jsou nekorelované. Veličiny nezávislé jsou nekorelované, naopak to platit nemusí.
Platí $\vert \rho_{XY} \vert \le 1$. Dále $\vert \rho_{XY} \vert = 1$ právě tehdy, jestliže jsou náhodné veličiny $X$, $Y$ lineárně závislé, tj. $\exists$ konstanty $a,\ b,\ b \neq 0$ takové, že $Y = a + bX$.

Charakteristická funkce

$$\Psi_{XY} (t_1,t_2) = E\left[ \exp (it_1x + it_2y) \right]$$