Některá diskrétní rozdělení

Alternativní rozdělení
Nechť jsou pouze 2 možné výsledky náhodného pokusu - událost nastane (1) nebo událost nenastane (0). Označme $p$ pravděpodobnost výsledku 1, pravděpodobnost výsledku 0 je pak $q = 1 - p$. Pravděpodobnostní funkce je pak $P(x) = p^x q^{1-x}$, kde $x=0,1$.

Binomické rozdělení $Bi(N,p)$
Rozdělení počtu úspěšných pokusů při provedení $N$ navzájem nezávislých pokusů se stejným alternativním rozdělením

$$p_i = \left(\!\begin{array}{c}N\\ i\end{array}\! \right) p^i... ... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i = 0,1,\dots,N$$

Binomická věta ukazuje, že jde o pravděpodobnostní rozdělení $\sum_{i=0}^N p_i = [ p + (1-p) ]^N = 1$.

Střední hodnota

$$\mu = EX = \sum_{i=0}^N i\; p_i = \sum_{i=0}^N i\ \left(\!\begin{array}{c}N\\ i\end{array}\! \right) p^i (1-p)^{N-i} =$$

$$= N p \sum_{i=1}^N \left(\!\begin{array}{c}N-1\\ i-1\end{array}\! \right) p^{i-1} (1-p)^{N-i} = N p$$

Rozptyl (disperze)

$$DX = \mu_2 = \sum_{i=0}^N p_i (i-Np)^2 = \sum_{i=0}^N i^2 p_i - (Np)^2 =$$

$$= \underbrace{\sum_{i=1}^N i p_i}_{\displaystyle Np} + \underbrace{\sum_{i=2}^N i (i-1) p_i}_{\displaystyle N(N-1)p^2} - (Np)^2 = N p (1-p) = N p q$$

Variační koeficient

$$C_X = \frac{\sigma_X}{EX} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{\frac{q}{p}}$$

Charakteristická funkce binomického rozdělení je

$$\Psi (t) = \sum_{k=0}^N {\rm } e^{i\,t\,k} \left(\!\begin{array}{c}N\\ k\en... ...y}{c}N\\ k\end{array}\! \right) \left( p\, \exp (it) \right)^k (1-p)^{(N-k)} =$$

$$= (p {\rm e}^{it} + 1 - p)^N \ .$$

Rozdělení četností (modifikace binomického rozdělení) $x_i = i/N$, kde $x_i = 0,1/N,2/N,\dots,1$

$$EX = p \ \ \ \ \ \ \ DX = \frac{pq}{N}\ \ \ \ \ \ \ \sigma_X = \sqrt{\frac{pq}{N}}$$

Hypergeometrické rozdělení
Soubor $N$ výrobků obsahuje $a$ vadných výrobků. Při statistické přejímce je vybráno $n$. Pak pravděpodobnost, že $x_i = i\ \ i = 0,1,\dots,n$ výrobků bude vadných je

$$p_i = \frac{\left(\!\begin{array}{c}N-a\\ n-i\end{array}\! \... ... \right)} {\left(\!\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\! \right)}$$

Označme pravděpodobnost, že výrobek je vadný $p = a/N$. Pak

$$EX = np\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DX = n p q\, \frac{N-n}{N-1}$$

Poissonovo rozdělení
Počet událostí v daném intervalu $\tau$ vyhovuje Poissonovu rozdělení, pokud platí

1. Pravděpodobnost události nezávisí na předchozím vývoji
2. Pravděpodobnost události v intervalu $\tau \rightarrow 0$ je úměrná délce intervalu $\tau$
3. Pravděpodobnost $P_v$ vzniku 2 a více událostí za dobu $\tau$ jde při zkracování intervalu $\tau$ k nule rychleji než lineárně
   
   $$\lim_{\tau\rightarrow 0} \frac{P_v (\tau)}{\tau} = 0$$
   
   

Označíme-li $P_1$ pravděpodobnost události, pak četnost vzniku událostí $\alpha = \lim_{\tau\rightarrow 0} P_1 / \tau$. Pak Poissonovo rozdělení má jediný parametr $\lambda = \alpha \tau$ a pravděpodobnost $i$ událostí za čas $\tau$ je

$$p_i = {\rm e}^{-\lambda}\ \frac{\lambda^i}{i !} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i = 0,1,\dots,\infty$$

Lze lehce ukázat, že

$$EX = \lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DX = \lambda = EX \ \ \ \ \... ...rt{\lambda} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C_X = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$$

$$\Psi (t) = \exp [ \lambda ({\rm e}^{it} - 1) ]$$

Poissonovo rozdělení je řešením systému diferenciálních rovnic

$$\frac{{\rm d}P_0}{{\rm d}t} = - \alpha P_0$$

$$\frac{{\rm d}P_i}{{\rm d}t} = - \alpha P_i + \alpha P_{i-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,2,\dots,\infty$$

v čase $\tau$ s počátečními podmínkami $P_0(t=0) = 1,\ P_i(t=0)=0,\ i = 1,2,\dots,\infty$.

Poissonovo rozdělení se často objevuje ve fyzikální praxi - počet částic zaregistrovaných čítačem, počet krvinek v políčku mikroskopu (délkou intervalu je plocha políčka).

Poissonovo rozdělení je limitou binomického rozdělení pro $Np = {\rm const.}$ a $N \rightarrow \infty$.