Charakteristická funkce náhodné veličiny

Jiným způsobem zápisu náhodné veličiny je její charakteristická funkce (jde vlastně o Fourierovu transformaci hustoty pravděpodobnosti)

$$\Psi_X (t) = {\rm E} \left[ \exp (i t x) \right]$$

kde $i$ je komplexní jednotka. Pro diskrétní a spojitou náhodnou veličinu je tak charakteristická funkce dána vztahy

$$\Psi_X (t) = \sum_{k \in {\bf U}} p_k \exp (i t x_k) \ \ \ \... ..._X (t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \exp (i t x) \; {\rm d}x$$

Charakteristická funkce $\exists$ pro $\forall$ náhodné veličiny. Rozdělení náhodné veličiny je charakteristickou funkcí jednoznačně určeno.

Nechť existuje prvních $n$ obecných momentů $\mu_k\acute{\ } = {\rm E}(x^k)$, $k = 1,\ldots,n$. Pak charakteristická funkce má prvních $n$ derivací v bodě $x = 0$ daných vztahem

$$\left. \Psi_X^{(k)} (t) \right\vert _{t=0} = i^k {\rm E}(x^k) = i^k \mu'_k$$

Pak má prvních $n$ členů Taylorova rozvoje charakteristické funkce náhodné veličiny tvar

$$\Psi_X (t) \simeq \sum_{k=0}^n EX^k \frac{(it)^k}{k!}$$

Pokud provedeme substituci $u = it$, pak funkci $M_X (u) = \Psi_X (-iu)$ nazýváme momentovou vytvořující funkcí.

$$M_X (u) = {\rm E} \left[ \exp (u x) \right] = \sum_{k=0}^\infty EX^k \frac{(u)^k}{k!}$$

Momentová vytvořující funkce existuje pouze pokud má náhodná veličina konečné obecné momenty všech řádů.