Momenty rozdělení

Obecné momenty - K-tý obecný (počáteční) moment $EX^k$ náhodné veličiny $X$ je dán

$$EX^k \equiv \mu'_k = \sum_{x_i \in {\bf U}} x_i^k p(x_i)$$

$${\rm resp.} \ \ \ EX^k \equiv \mu'_k = \int_{\bf U} x^k f(x) \; {\rm d}x$$

První obecný (počáteční) moment $EX$ nazýváme střední hodnotou (někdy se značí $\mu$).

Centrální momenty - K-tý centrální (středový) moment $\mu_k$ náhodné veličiny $X$ je dán

$$\mu_k = E(X-EX)^k = \sum_{x_i \in {\bf U}} (x_i - EX)^k p(x_i)$$

$${\rm resp.} \ \ \mu_k = \int_{\bf U} (x - EX)^k f(x) \; {\rm d}x$$

Centrální moment 2. řádu charakterizuje šířku rozdělení

Rozptyl (disperze) $DX$ je druhý centrální moment $\mu_2$ náhodné veličiny $X$.
Směrodatná odchylka $\sigma_X = \sqrt{DX}$ je mírou šířky rozdělení.
Variační koeficient $C_X = \sigma_X/EX$ je mírou relativní šířky rozdělení.

Věta (Čebyševova nerovnost) Nechť náhodná veličina $X$ má konečný rozptyl. Pak

$$P(\vert X - EX\vert \ge \varepsilon) \le \frac{DX}{\varepsilon}$$

Momenty vyšších řádů se užívají méně často

Koeficient šikmosti $\nu_3$ a koeficient špičatosti $\nu_4$ jsou definovány

$$\nu_3 = \frac{E(X-EX)^3}{\sigma_X^3} = \frac{\mu_3}{\sigma_X... ...frac{E(X-EX)^4}{\sigma_X^4} - 3 = \frac{\mu_4}{\sigma_X^4} - 3$$