Nejprve definujeme Sturmovu posloupnost, je to posloupnost
polynomů ,
,
,
kde
je zbytek po dělení
a
poslední člen posloupnosti je
, kde
.
Sturmova věta -
Nechť algebraická rovnice má pouze jednoduché kořeny, potom počet
reálných kořenů na intervalu
je
roven rozdílu počtu znaménkových změn ve Sturmově posloupnosti
.
Pokud má algebraická rovnice násobné kořeny, tedy ,
dělíme ji polynomem
a použijeme Sturmovu větu. Odtud
potom dostaneme počet kořenů (bez násobnosti) na daném intervalu.
Příklad na Sturmovu větu
Máme polynom
, potom členy Sturmovy
posloupnosti jsou
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
0 | 2 | ![]() |
![]() |
- | - | + | + |
![]() |
+ | - | + | + |
![]() |
- | + | + | + |
![]() |
- | - | - | - |
![]() |
2 | 2 | 1 | 1 |
Rozdíl počtu znaménkových změn v bodech a
je
jedna, zadaný polynom má tedy v tomto intervalu právě jeden
kořen. Tento kořen leží mezi body 0 a 2, protože rozdíl počtu
znaménkových změn v těchto bodech je opět jedna.