Ohraničení maximální a minimální velikosti kořene

Nechť $f(x)$ je polynom ve tvaru $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, kde $a_n \not= 0$.

Ohraničení kořenů polynomů:

1. Všechny kořeny jsou v mezikruží $\frac{\vert a_0\vert}{B + \vert a_0\vert} \leq \vert x\vert \leq 1 +\frac{A}{\vert a_n\vert}$, kde pro $A$ a $B$ platí $A = \max \{\vert a_{n-1}\vert, \vert a_{n-2}\vert, \dots, \vert a_0\vert\}$ a $B = \max \{ \vert a_n\vert \vert a_{n-1}\vert, \dots, \vert a_1\vert\}$.
2. Dále nechť $a_n > 0$ a $a_{n-k}$ je první záporný koeficient, platí pro všechna $x_i > 0$, že $x_i < R = 1 + \sqrt[k]{\frac{A}{a_n}}$, kde $A = \max \limits_{j, a_j < 0} \vert a_j\vert$.

Druhé ohraničení lze po substitucích využít i k dalším odhadům:

• Substitucí $y = \frac{1}{x}$ odhadneme minimální kladný kořen.
• Pomocí substituce $y = -x$ omezíme v absolutní hodnotě největší záporný kořen.
• Substituce $y = - \frac{1}{x}$ omezí v absolutní hodnotě nejmenší záporný kořen.