Brentova metoda

Metody je založena na přepínání mezi lineární metodou (metodou půlení intervalů) a superlineární metodou (inverzní kvadratická interpolace). Pokud je superlineární metoda pomalá (daleko od kořene), využívá se půlení intervalů.

Inverzní kvadratická interpolace využívá funkci $x = g(y)$, hledáme $x = g(y=0)$. Při iteraci z 3 známých bodů $a,\; b,\; c$, je funkce $y$ interpolována podle Lagrangeova vzorce

$$x = \frac{[y - f(a)][y - f(b)]c}{[f(c) - f(a)][f(c) - f(b)]} +$$

$$+ \frac{[y - f(b)][y - f(c)]a}{[f(a) - f(b)][f(a) - f(c)]} + \frac{[y - f(c)][y - f(a)]b}{[f(b) - f(c)][f(b) - f(a)]}\ \ .$$

Pro $y \equiv 0$ lze Lagrangeův vzorec napsat ve tvaru

$$x = b + \frac{P}{Q}\ , \quad {\rm kde} \quad P = S[T(R-T)(c-b) - (1-R)(b-a)] \quad$$

$${\rm a} \quad Q = (T-1)(R-1)(S-1)\ .$$

$$\!\!\!\!\!\!\!\!\! {\rm a\ \ kde}\qquad R \equiv \frac{f(b)}... ...quiv \frac{f(b)}{f(a)}\ , \qquad T \equiv \frac{f(a)}{f(c)}\ .$$