Řeším soustavu rovnic
.
V prvním kroku nechť prvek
(lze vždy dosáhnout přehozením
rovnic). Prvek
, použitý k úpravě rovnic 2, ..., n
nazveme hlavním prvkem (pivot).
Od i-té rovnice odečteme 1.rovnici násobenou multiplikátorem
. Modifikovaná soustava bude mít v 1.sloupci
pod diagonálou samé 0. Úprava prováděná současně s pravou stranou
odpovídá násobení rovnice maticí
Po úpravách má matice
tvar
Pokud
, lze ho zvolit za hlavní prvek,
spočítat multiplikátory
pro
a upravit příslušné rovnice.
V -tém kroku úpravy používám jako hlavní prvek prvek
-krát
upravený (odečítání!) hlavní prvek
ztráta přesnosti
výběr hlavního prvku.
Bez výběru hlavního prvku - přímé metody nepoužitelné pro obecné matice!!
Počet operací
Na každou 0
vnitřních cyklů, potřebuji
prvků
0. Celkový počet vnitřních cyklů
(přesněji
), složitost algoritmu je řádu
.
Gauss-Jordanova eliminace
Upravují se všechny prvky mimo diagonálu. Matice se převede na jednotkovou
. Přímo spočtu inverzní matici
. Vyšší počet
operací
vnitřních cyklů.