Aproximace metodou nejmenších čtverců

Aproximační funkce neprochází zadanými body. Využívá se například při aproximaci výsledků měření s nezanedbatelnými chybami. Rozlišujeme

• diskrétní aproximaci - funkce je zadána v diskrétních bodech $x_i$ - hledáme diskrétní funkci $\phi_M(x_i)$, která v určité třídě funkcí minimalizuje funkcionál
  
  $$\varrho_N = \sqrt{\sum_{i=1}^N w_i [f(x_i) - \phi_M(x_i)]^2}$$
  
  

• spojitou aproximaci - funkce je zadána v celém intervalu $\langle a, b \rangle$ - hledáme funkci $\phi_M(x)$, která v určité třídě funkcí minimalizuje funkcionál
  
  $$\varrho = \sqrt{\int_a^b [f(x) - \phi_M(x)]^2 w(x) dx}$$
  
  

kde $w$ je váhová funkce (často $w(x)=1$).

Tvar funkce $\Phi_M$ je obvykle zadán až na $M$ neznámých parametrů $c_j$. Aproximace metodou nejmenších čtverců může být

• lineární - funkce je lineární vzhledem k neznámým parametrům $c_j$, jde tedy o zobecněný polynom
  
  $$\phi_M(x) = \sum_{j=1}^M c_j\; g_j (x) \ \ ,$$
  
  
  bázové funkce $g_j$ jsou zadané.
• nelineární - funkce není lineární vzhledem ke koeficientům $c_j$
  
  $$\phi_M = \phi_M(x, c_1, \dots,c_M)$$