Výběrové charakteristiky dané středováním

Výběrový obecný moment - K-tý výběrový obecný (počáteční) moment je dán vztahem

$$M'_k =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$$

Výběrový průměr je $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$. Platí-li pro prostý náhodný výběr $EX_i = EX = \mu$ a $DX_i = DX = \sigma^2$, pak střední hodnota výběrového průměru $E\overline{X} = EX = \mu$ a rozptyl $D\overline{X} = DX/n = \sigma^2/n$. Výběrový průměr je tedy vhodný pro odhad střední hodnoty rozdělení.

Výběrový centrální moment - K-tý výběrový centrální moment je dán vztahem

$$M_k =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^k$$

Výběrový rozptyl - je dán vztahem

$$S^2 =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$$

Ukážeme, že střední hodnota výběrového rozptylu je rovna rozptylu rozdělení pravděpodobnosti

$$(n-1) E(S^2) = E\left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - n \overline{X}^2 \right) = \sum_{i=1}^n E(X_i^2) - n E(\overline{X}^2) =$$

$$= \sum_{i=1}^n \left[ E^2 (X_i) + D(X_i) \right] - n \left[ E^2 (\o... ...D(\overline{X}) \right] = n (\mu^2 + \sigma^2) - n (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n})$$

a tedy platí Dále

$$E(S^2) = \sigma^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D(S... ...\frac{n-3}{n(n-1)} \sigma^4 \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm pro}\ n \ge 3$$

Veličina $m_4$ je čtvrtý centrální moment rozdělení pravděpodobnosti.

Pozn. - Protože $\overline{X}$ je vypočten z hodnot $X_i$ výběrového souboru, je z $n$ hodnot odchylek $(X_i - \overline{X})$ jen $n - 1$ hodnot lineárně nezávislých, proto musíme dělit výrazem $(n - 1)$ a rozdělení náhodné veličiny $S^2$ má $n - 1$ stupňů volnosti.

Výběrová směrodatné odchylka je $S = \sqrt{S^2}$.
Střední hodnota $E(S)$ je obvykle menší než $\sigma$, neb $0 \le D(S) = E(S^2) - E^2 (S) = \sigma^2 - E^2 (S)$. Tedy $E(S) = \sigma$ pouze tehdy, pokud $D(S) = 0$.

Výběrová kovariance Nechť při prostém výběru o rozsahu $n$ jsou sledovány dva znaky $X$ a $Y$. Dostaneme dva soubory hodnot $\{ X_1, X_2, \dots, X_n \}$ a $\{ Y_1, Y_2, \dots, Y_n \}$. Výběrová kovariance $S_{XY}$ je dáma vztahem

$$S_{XY} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}) (Y_i - \overline{Y})$$

Výběrový lineární korelační koeficient

$$r_{XY} = \frac{S_{XY}}{S_{X} S_{Y}} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i... ...- \overline{X})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i - \overline{Y})^2}}$$

Hodnota $r_{XY} \in \left< -1,1 \right>$.