Intervalové odhady (intervaly spolehlivosti)

Bodový odhad parametru neumožňuje přímo zjistit, jak blízko leží skutečný parametr k odhadu. Často je potřebné zjistit oblast, kde se skutečný parametr s velkou pravděpodobností nachází. K tomu slouží intervalové odhady.

Definice Nechť $\theta_1$, $\theta_2$ jsou dvě výběrové statistiky takové, že

$$P\left( \theta \in (\theta_1,\theta_2) \right) = 1 - \alpha$$

kde $\alpha \in (0,1)$. Pak interval $(\theta_1$, $\theta_2)$ nazveme intervalem spolehlivosti pro parametr $\theta$ s parametrem spolehlivosti $1 - \alpha$. Používá se též termínu $100(1 - \alpha)$% interval spoleh- livosti nebo konfidenční interval.

Postup Obecně neexistuje způsob, jak sestrojit podmíněné rozdělení pravděpodobnosti (distribuční funkci) $F(\theta \vert \{X_1,\dots,X_n\})$ při daném výběru. Zvolíme vhodný bodový odhad $T$ parametru $\theta$. Sestrojíme podmíněné rozdělení pravděpodobnosti $F(T \vert \theta)$ bodového odhadu $T$. Pro funkci $h(T,\theta)$ monotonní v $\theta$ pro konstantní $T$, která splňuje podmínku $P(h_1 < h(T,\theta) < h_2 \vert \theta)$ nezávisí na $\theta$, definujeme

$$P(h_1 < h(T,\theta) < h_2 \vert T) = P(h_1 < h(T,\theta) < h_2 \vert \theta)$$

Řešením nerovností vzhledem k $\theta$ je nalezen intervalový odhad.

Pozn. Protože lze obecně sestrojit více funkcí $h(T,\theta)$, není určení intervalového odhadu jednoznačné. Intervalové odhady souvisí úzce s testováním hypotéz, proto se k nim ještě vrátíme v následující kapitole.

Pozn. Nejčastěji hledáme symetrické intervaly spolehlivosti $P(\theta \le \theta_1) = P(\theta \ge \theta_2) = \alpha/2$. Užívají se ale i jednostranné intervalové odhady, např. $\theta > \theta_1$ s parametrem spolehlivosti $(1 - \alpha)$, tedy interval $(\theta_1, \infty)$.

Příklad Nechť $\vec{X}$ je výběr z normálního rozdělení $N(\mu,\sigma^2)$ se známou střední hodnotou $\mu$. Nalezněte konfidenční interval $\sigma^2$ s parametrem spolehlivosti $(1 - \alpha)$.

Řešení

$$M_2 (\vec{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$$

je nestranný bodový odhad rozptylu $\sigma^2$. Funkce

$$h(M_2,\sigma^2) = \frac{n}{\sigma^2}\; M_2 (\vec{X}) = \sum_{... ...frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 \ \ \ \ \ \ \ \sim \chi^2 (n)$$

kde "$\sim$" znamená "má rozdělení". Rozdělení pravděpodobnosti veličiny $h(M_2,\sigma^2)$ při konstantním $\sigma^2$ tedy nezávisí na parametru $\sigma^2$. Určíme příslušné kvantily

$$F(h_1) = \frac{\alpha}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F(h_2) = 1 - \frac{\alpha}{2}$$

Pak je interval spolehlivosti $(\sigma_1^2,\sigma_2^2)$ dán hranicemi

$$\sigma_1^2 = \frac{n M_2 (\vec{X})}{h_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma_2^2 = \frac{n M_2 (\vec{X})}{h_1}$$