Podmíněná pravděpodobnost

${\rm P}({\bf A}\vert{\bf B}) = {\rm P}_B({\bf A})$ - pravděpodobnost A za podmínky B, tj. pravděpodobnost A, jestliže B nastalo.

Podmíněná pravděpodobnost

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm P}( {\bf A}\vert{\bf B} ) = \frac{{\rm P}({\bf A} \cap {\bf B})}{{\rm P}({\bf B})}$$

Nezávislé jevy

$${\rm P}( {\bf A}\vert{\bf B} ) = {\rm P}( {\bf A} ) \ \ \ \ \ {\rm P}( {\bf B}\vert{\bf A} ) = {\rm P}( {\bf B} )$$

$${\rm P}({\bf A} \cap {\bf B}) = {\rm P}({\bf A}) . {\rm P}({\bf B})$$

Úplná soustava jevů
${\bf A}_i \in \cal{M}$, i = 1,...,n jsou jevy těchto vlastností:

1. ${\bf A}_i \ne \emptyset$ pro $\forall i$
2. ${\bf A}_i \bigcap {\bf A}_j = \emptyset$ pro $\forall i,\ j,\ i \ne j$
3. $$\bigcup_{i=1}^n {\bf A}_i = {\bf U}$$

Věta o úplné
pravděpodobnosti

Nechť ${\bf B}_i \in \cal{M}$, i = 1,...,n je úplná soustava jevů, pak pravděpodobnost jevu ${\bf A} \in \cal{M}$ je dána vztahem

$${\rm P}( {\bf A} ) = \sum_{i=1}^n {\rm P}({\bf A} \vert {\bf B}_i) . {\rm P}({\bf B}_i)$$

Bayesova věta

Nechť ${\bf B}_i \in \cal{M}$, i = 1,...,n je úplná soustava jevů, nechť ${\bf A} \in \cal{M}$ je náhodný jev, jehož podmíněné pravděpodobnosti ${\rm P}({\bf A} \vert {\bf B}_i)$, i = 1,...,n jsou známy. Pak platí vztah

$${\rm P}( {\bf B}_k\vert{\bf A} ) = \frac{{\rm P}({\bf A} \ve... ...{i=1}^n {\rm P}({\bf A} \vert {\bf B}_i) . {\rm P}({\bf B}_i)}$$