Funkce náhodné veličiny

Reálná funkce $y = h(x)$ náhodné veličiny je opět náhodnou veličinou.

Nechť funkce $y = h(x)$ je rostoucí (klesající) funkce. Pak existuje inverzní funkce $x = h^{-1} (y)$. Distribuční funkce $F_Y (y)$ je dána vztahy

$$F_Y (y) = F_X \left(h^{-1} (y) \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\ {\rm rostouc\acute{\i}}$$

$$F_Y (y) = 1 - F_X \left(h^{-1} (y) \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\ {\rm klesaj\acute{\i}c\acute{\i}}$$

Pro diskrétní náhodnou veličinu X je pravděpodobnostní funkce veličiny $p_Y (y_i) = p_X \left( h^{-1} (y_i) \right)$. Nechť existuje derivace $(h^{-1} )'(y) = {\rm d} h^{-1}{\rm d}y \equiv {\rm d}x/{\rm d}y$. Pak náhodná veličina Y je spojitá s hustotou pravděpodobnosti

$$f_Y (y) = f_X \left( h^{-1} (y)\right) \ \left\vert \frac{{\rm d}x}{{\rm d}y} \right\vert$$

Pro obecnou funkci $y = h(x)$ je distribuční funkce $F_Y (y)$ náhodné veličiny $Y$ je pro případ diskrétní (resp. spojité) náhodné veličiny X definována následujícími vztahy

$$F_Y (y) = \sum_{i : h(x_i) \le y} p_i$$

$$F_Y (y) = \int_{h(x) \le y} f(x) {\rm d}x$$

Pro případ diskrétní náhodné veličiny X je pravděpodobnostní funkce $p_y$ veličiny Y dána vztahem

$$p_Y (y) = \sum_{i : h(x_i) = y} p_X (x_i)$$

Nechť existuje konečný počet $x_i$ takových, že $h(x_i) = y$. Nechť pro $\forall x_i\ \exists$ derivace ${\rm d} h/{\rm d} x \neq 0$. Pak $\exists$ hustota pravděpodobnosti $f_Y (y)$ náhodné veličiny $Y$

$$f_Y (y) = \sum_{i : h(x_i) = y} f_X ( x_i ) \ \left\vert \frac{{\rm d}h}{{\rm d}x} \right\vert^{-1}_{x = x_i}$$

Příklad 1 Nechť veličina $\theta$ má stejnoměrné rozdělení v intervalu $(-\pi /2,\pi /2)$. Jaké rozdělení má veličina $x = {\rm tg} \theta\$?

Je tedy

$$f (\theta) = \frac{1}{\pi}\ \ \ \ \ \theta = {\rm arctg} (x) \ \ \ \ \ \ \ \frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}x} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Hustota pravděpodobnosti veličiny X je tedy

$$f_X (x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in (-\infty,\infty)$$

Uvedené rozdělení se nazývá Cauchyho. Je příkladem rozdělení, které nemá konečný rozptyl

$$DX = \int_{-\infty}^{\infty} x^2\ f(x) {\rm d}x = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\pi (1 + x^2)} {\rm d}x = +\infty$$

Příklad 2 Nechť veličina X má normální rozdělení $N(0,1)$. Jaké rozdělení má veličina $y = x^2$?

Inverzní funkce existuje pro nezáporná (nekladná) $x = \pm \sqrt{y}$. Zde $\vert {\rm d}x /{\rm d} y\vert = 1/2\sqrt{y}$. Pak hustota pravděpodobnosti veličiny $Y\ (y \ge 0)$ je

$$f_Y (y) = \sum_{\pm \sqrt{y}} f_X (\pm \sqrt{y}) \frac{1}{2 ... ...} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y \in (0,\infty)$$

Toto rozdělení pravděpodobnosti se nazývá $\chi^2$ s jedním stupněm volnosti ($\chi^2_1$).

Přibližné stanovení charakteristik funkce náhodné veličiny
V praxi je někdy k dispozici pouze jediná změřená hodnota veličiny $X$ (odhad její střední hodnoty) a směrodatná odchylka měření $\sigma_X$ (daná například udanou chybou měřícího přístroje). Pokud je variační koeficient $CX \ll 1$, lze přibližně odhadnout charakteristiky veličiny $y = h(x)$. Předpokládejme, že veličina X je spojitá

$$EY = \int h(x) f_X (x)\; {\rm d}x = \int \left[ h(EX) + h'(EX) (x-EX) + \right.$$

$$+ \left. \frac{h''(EX)}{2} (x-EX)^2 + \dots \right]\, f_X (x)\; {\rm d}x \simeq h(EX) + \frac{h''(EX)}{2} DX \simeq h(EX)$$

Disperzi $DY$ lze pak vyjádřit přibližně z lineárního členu Taylorova rozvoje

$$DY = \int (h(x) - EY)^2 f_X (x)\; {\rm d}x \simeq \int (h(x) - h(EX))^2 f_X (x)\; {\rm d}x \simeq$$

$$\simeq \left(\frac{{\rm d} h}{{\rm d} x} \right)^2_{x=EX} DX$$