Newton-Raphsonova metoda pro systémy nelineárních rovnic

Přesné řešení $\vec{\xi}$ vyjádříme ve tvaru $\vec{\xi} = \vec x + \delta \vec x$. Hodnotu funkce v bodě $\xi$ vyjádříme pomocí Taylorovy věty

$$f_i (\vec x + \delta \vec x) = \underbrace{f_i(\vec x) + \su... ...l f_i}{\partial x_j}\, \delta x_j}_{=0} + O(\delta \vec{x}^2).$$

Systém rovnic linearizujeme v bodě $\vec{x}^{(k)}$ ($k$-tý odhad řešení). Máme soustavu $n$ lineárních rovnic o $n$ neznámých

$$\left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}... ...{(k)}) \\ \vdots \\ f_n (\vec{x}^{(k)}) \end{array}\right) .$$

Iterační vztah je tedy $x_i^{(k+1)} = x_i^{(k)} + \delta x_i^{(k)}$, kde $i = 1, \dots, n$.
Vektorově $\vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} - \left[ Jf \left( \vec{x}^{(k)} \right) \right]^{-1} \cdot \vec{f} \left( \vec{x}^{(k)} \right)$.
Při dostatečně dobrém odhadu tato metoda konverguje za velmi obecných podmínek. V případě nutnosti počítáme derivace numericky.

Pozn. Metodu lze modifikovat tak, aby se omezení nebezpečí příliš dlouhých kroků daleko od řešení. V $\forall$ iteračních krocích chceme pokles $\sum_{i=1}^{n} f_i^2$. Pokud k němu v některém kroku nedojde, místo kroku $\delta x_i^{(k)}$ Newtonovy metody užijeme vztah

$$x_i^{(k+1)} = x_i^{(k)} + \lambda \cdot \delta x_i^{(k)}\ , \qquad {\rm kde} \quad \lambda \in (0, 1 \rangle \ .$$