LU metoda

$\forall$ matice ${\bf A}$ lze rozložit do tvaru ${\bf A} = {\bf L} \cdot {\bf U}$, kde ${\bf L}$, ${\bf U}$ jsou levá dolní, resp. pravá horní trojúhelníkové matice. Potom řešení najdu postupným řešením 2 soustav s trojúhelníkovou maticí

$${\bf A} \vec{x} = \vec{b} \ \Rightarrow \ ({\bf L}{\bf U}) \... ...arrow \ {\bf L} \vec{y} = \vec{b}, \ {\bf U} \vec{x} = \vec{y}$$

LU dekompozice

$$\hspace*{-1cm} \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} &... ... & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & u_{nn} \end{array} \right)$$

Násobení matic

$$i \le j \qquad \qquad a_{ij} = u_{ij} + \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} u_{kj}$$

$$i > j \qquad \qquad a_{ij} = l_{ij} u_{jj} + \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} u_{kj}$$

Croutův algoritmus - postupný výpočet např. odleva po sloupcích a ve sloupcích odshora. Nejdříve

$$u_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} u_{kj} \qquad \qquad i = 1,\ldots,j$$

užívá $l$ z předchozích sloupců a $u$ z předchozích řádků, a potom

$$l_{ij} = \left( a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} u_{kj} \right) / u_{jj} \qquad i = j+1,\ldots,n$$

užívá $l$ z předchozích sloupců a $u$ z naddiagonální části sloupce.

Sloupcové hledání hlavního prvku (úplné nelze)
Prvky $a_{ij}$ použiji jen 1 $\times$, výsledné prvky matic ${\bf L}$ a ${\bf U}$ se vejdou do 1 matice.

Vlastnosti LU metody:

• Přímá (finitní) metoda, stejná přesnost i pracnost jako u Gaussovy eliminace
• Hlavní výhoda - při dekompozici nepracuji s pravou stranou rovnice, rychlé výpočty pro postupně získávané pravé strany
• Lze iterativně zpřesnit výsledek