next up previous
Next: Rychlost řešení soustav lineárních Up: Přímé metody řešení soustav Previous: Speciální typy matic

Úlohy se žádným řešením nebo $\infty$ řešeními

$ m $ rovnic o $n$ neznámých, lineárně závislé $n \times n\ $ systémy.

Metoda SVD (singular value decomposition) - pokud ${\bf A} \vec{x} = \vec{b}$ má $\infty$ řešení, určí řešení s nejmenší Eukleidovskou normou a bázi nulprostoru, pokud $\neg \exists$ řešení, najde řešení ve smyslu nejmenších čtverců - vektor $\vec{x}$ minimalizující $\Vert {\bf A} \vec{x} - \vec{b} \Vert _{III}$.

SVD - ${\bf A}, \ {\bf U}$ matice $m \times n$, ${\bf W},\ {\bf V}, \ {\bf I}$ matice $n \times n\ $, ${\bf W}$ diagonální, ${\bf I}$ jednotková, ${\bf U},\ {\bf V}$ ortogonální ( ${\bf U}^T \cdot {\bf U} = {\bf V}^T \cdot {\bf V} = {\bf I}$)

\begin{displaymath} {\bf A} = {\bf U} \cdot {\bf W} \cdot {\bf V}^T \ \ \ \Right... ... V} \cdot [ {\sf diag} (1/w_j) ] \cdot {\bf U}^T \cdot \vec{b} \end{displaymath}

Pokud $w_j = 0$ ($w_j \simeq 0$) nahradíme $1/w_j \rightarrow 0$ (signalizuje singulárnost matice).


Jiri Limpouch
2000-03-08