Interpolační spline je lokální interpolace taková, že kromě
průchodu všemi uzlovými body
má spojitou alespoň první derivaci ve
, tedy
V každém subintervalu
na interpolační spline
klademe čtyři podmínky (
,
,
,
), proto užívané
funkce musí mít alespoň 4 volitelné parametry.
Kubický spline používá kubické polynomy pro konstrukci
interpolačního splinu.
Okraje - zde nemá smysl mluvit o spojitosti derivací, proto
je třeba 2 podmínky dodefinovat.
Možnosti jsou
Pozn. Zadání obou dodatečných podmínek na jednom okraji by sice
zjednodušilo výpočet aproximace, ale takový algoritmus je nepoužitelný
vzhledem k numerické nestabilitě (oscilace interpolačního splinu
exponenciálně rostoucí od daného okraje).
Konstrukce kubického splinu
Druhá derivace kubický polynomu je lineární funkcí a tedy v intervalu
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
Po dvojím zintegrování této rovnice při uvážení podmínek
dostaneme
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
Derivace má tvar
Hodnoty určíme z podmínky spojitosti první derivace
splinu
ve tvaru
Jde tedy o soustavu lineárních rovnic pro koeficienty , kde
s tridiagonální, diagonálně dominantní maticí.
Za znalosti
pak snadno určíme hodnotu splinu
pro libovolné
.
Konvergence kubického splinu
Nechť je řádu
na intervalu
(tedy spojité derivace až do
-té včetně), kde
. Dále nechť interval
je rozdělen na
podintervaly délky
, kde
, a
. Mějme dále konstantu
, pro kterou platí
. Je-li
kubický interpolační spline, pak pro
platí