Hermiteova interpolace

Interpolace, která kromě funkčních hodnot má zadané některé derivace.

Nechť jsou dány hodnoty funkce $f(x_i) = y_i$ v uzlech $x_i$ pro $i = 0, 1, \dots, m$ a navíc pro některé hodnoty $i$ jsou dány hodnoty jejích derivací $f'(x_i) = y'_i$, $f''(x_i) = y''_i$, ..., $f^{(\alpha_i)} (x_i) = y^{(\alpha_i)}_i$.

Všechny podmínky splní polynom $H_n(x)$ stupně $n = m + \alpha_0 + \dots + \alpha_m$. Lze ho vyjádřit

$$H_n(x) = L_m(x) + \omega_m(x) H_{n-m-1} (x)$$

pomocí Lagrangeova polynomu $m$-tého stupně, který prochází všemi uzly, a polynomu $\omega_m$ stupně $(m+1)$.
Hermitův polynom $H_{n-m-1}(x)$ je dán tak, aby byly splněny podmínky pro derivace v uzlech, tedy $y'_i = L'_m(x_i) + \omega'_m(x_i) H_{n-m-1}$. Odtud vyplývá, že pro $i = 0, 1, 2, \dots, p_1$ ($p_1 +1$ je počet zadaných prvních derivací) platí

$$H_{n-m-1}(x_i) = \frac{y'_i - L'_m (x_i)}{\omega'_m (x_i)} = z_i \ \ .$$

Provádíme tedy Hermiteovu interpolaci hodnot $z_i$ s tím, že maximální stupeň zadané derivace je již máme o 1 nižší. Postupným opakování uvedeného algoritmu nalezneme požadovanou interpolaci.

Pozn. Někdy se pod Hermiteovým interpolačním polynomem rozumí Hermiteova interpolace v užším smyslu, kdy jsou ve $\forall$ uzlových bodech zadány hodnoty funkce a její 1. derivace.