NUMERICKÉ METODY - CVIČENÍ

budova FJFI Trojanova, učebny č. 105 a č. 115

kontakt na vyučujícího - jan.psikal[at]fjfi.cvut.cz

důležité!!! - zadání zápočtových úloh proběhne v polovině tohoto semestru , pokud nechodíte na cvičení (na nich je účast doporučována, nikoliv však striktně vyžadována), aktivně se o jejich zadání zajímejte

důležité!!! - odevzdání vyřešených zápočtových úloh je všemi cvičícími po dohodě s prof. Limpouchem vyžadováno nejpozději do 14ti dnů před koncem zkouškového období tohoto semestru

děkuji Liboru Švédovi, Ondřeji Klimovi a Veronice Pickové za poskytnutí materiálů ke cvičení

úvod

následující příklady z numerické matematiky jsou demonstrovány v programovacím jazyce Pascal, sloužícím především k výuce programování, a dále v interaktivním programovém prostředí a skriptovacím programovacím jazyce MATLAB

• prověřený návod, jak si nainstalovat Turbo Pascal, a odkazy ke stažení příslušného softwaru jsou k dispozici ZDE
• ke stažení a instalaci MATLABu lze využít stránky http://download.cvut.cz
• následující náplň cvičení je pouze orientační, změny a chyby tisku vyhrazeny :-)

cvičení 1

• kvalitní stránky ke cvičení z předmětu NME jsou ZDE
• stránky seznamující se základy programování v Pascalu ZDE



zobrazení čísel v počítači

• dokumenty k opakování a úvodu do Pascalu
• prográmky v Pascalu: přetečení, strojové epsilon, součet řady vzestupně a sestupně



chyba metody a nestabilita

• prográmky v Pascalu na chybu metody a zaokrouhlovací chybu (numerický výpočet derivace), nestabilitu - výpočet řešení diferenciální rovnice dvěma různými metodami popsanými ZDE
• matlabovské skripty pro zobrazení vypočtených dat v příkladech na chyby a nestabilitu
• stručný dokument v pdf ke stabilitě a výběru numerické metody ZDE

cvičení 2

lineární algebra

• opakování - násobení matic, Gauss-Jordanova metoda, pivoting
• úloha: napište program pro násobení matic A a B
• možné řešení zadaného příkladu na násobení matic
• prográmek na získání řešení ze zadané horní trojúhelníkové matice a vektoru pravých stran ke stažení ZDE
• program na LU dekompozici ze zadané matice, dodatek k LU dekompozici
• soustavy se speciálními typy matic - program na řešení soustavy s tridiagonální maticí včetně vstupních dat, dále příklad z fyziky vedoucí k soustavě s tridiagonální maticí

cvičení 3

• úvod do lineární algebry v MATLABu ZDE
• iterační metody - řešení soustavy lineárních rovnic Jacobiho metodou, Gauss-Seidelovou metodou, jejich porovnání (včetně metody prosté iterace, superrelaxační metody)
• dokumenty k iteračním metodám, podmíněnosti matice, hledání vlastních čísel
• částečný problém vlastních čísel - prográmky v Matlabu a v Pascalu plus příklad matice pro Pascal
• opakování
• úloha: vypočtěte determinant matice A při využití LU dekompozice této matice
• pro opakování (jak spočítat determinant) vhodná tato skripta z lineární algebry

cvičení 4

aproximace funkce

• interpolace celé funkce - Vandermondův polynom, Lagrangeův interpolační polynom s příslušným dokumentem
• interpolace funkce po částech - úvodní text a prográmek v Pascalu včetně vstupních dat
• aproximace derivace - odvození aproximace metodou vyššího řádu přesnosti
• úloha: implementujte uvedenou metodu vyššího řádu v následujícím programu
• řešeni úlohy je dostupné ZDE

cvičení 5

• stejnoměrná aproximace funkce (Čebyševovy polynomy) - prográmek v Pascalu, skript na zobrazení dat v Matlabu, zobrazení Čebyševových polynomů
• aproximace metodou nejmenších čtverců - příklad na aproximaci lineární funkcí, odvození aproximace kvadratickou funkcí

třídění dat

• metoda přímého vkládání - program v Pascalu
• heapsort - animace
• quicksort - program v Pascalu

cvičení 6

řešení nelineárních rovnic a jejich soustav

• prográmky v Matlabu na výpočet kořenů rovnice - metoda půlení intervalu, metoda sečen, metoda tečen
• Mullerova metoda - vysvětlení v pdf, program v Pascalu
• teorie - ohraničení oblasti s kořeny - důkaz
• soustavy nelineárních rovnic - programy v Pascalu aplikující metodu prosté iterace a Newton-Raphsonovu metodu

cvičení 7

• úloha k samostatné práci na cvičení, zadání zápočtových úloh

cvičení 8

hledání extrémů funkcí

• hledání extrémů funkcí jedné proměnné - metoda zlatého řezu, parabolická interpolace, jejich vysvětlení
• hledání extrémů funkcí více proměnných - simplexová metoda
• metoda konjugovaných gradientů - vysvětlení

numerický výpočet integrálu

• výpočet integrálu jednorozměrné funkce - odvození integračních vzorců pomocí Lagrangeova interpolačního polynomu, alternativní odvození metodou neurčitých koeficientů
• úloha: Spočítejte numericky určité integrály funkce exp(x) pro x od 1.0 do 5.0 a sin^3(x) pro x od Pi/6 do Pi/2 pomocí lichoběžníkového pravidla, obdelníkového pravidla a Simpsonovou metodou pro 10 kroků, 100 kroků a 1000 kroků. Výsledky porovnejte.
• její možné řešení v Pascalu, v Matlabu

cvičení 9

• Rombergova integrace - vysvětlení a příklad takového výpočtu integrálu
• Gaussovy kvadratury (výpočet integrálu při neekvidistantním rozdělení bodů s různými váhami) - program v Pascalu
• vícedimenzionální integrace - příklad na posloupnost opakovaných jednodimenzionálních integrací
• metoda Monte Carlo - výpočet konstanty Pi
• metoda Monte Carlo - výpočet integrálu

cvičení 10

obyčejné diferenciální rovnice (ODE)

• počáteční problém pro ODE - úvod (Eulerova, Heunova metoda, metoda středního bodu), program v Pascalu
• Runge-Kuttovy metody - jejich odvození, porovnání Eulerovy a Runge-Kuttovy metody v Matlabu
• řešení soustavy diferenciálních rovnic - zadání příkladu a sestavení rovnic ZDE, výpočet v prográmku v Pascalu ZDE
• vysvětlení dalších metod - leap-frog, Bulirsch-Stoer, implicitní metody, prediktor-korektor
• Stiff problém - příklad v Matlabu

cvičení 11

• okrajový problém pro ODE - metoda střelby - zadání příkladu, program v Pascalu
• metoda konečných diferencí (sítí) - příklad
• možnost odevzdání zápočtových úloh, konzultace