Distribuční funkce

Distribuční funkce $F$ vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná funkce nabude hodnoty menší než nebo rovné x a je tedy definována pro $\forall x \in {\rm R}$ vztahem

$$F(x) = {\rm P}(X \le x)$$

Vlastnosti distribuční funkce $F$

a)

$0 \le F(x) \le 1$

b)

$F$ je neklesající; pro $x_1 < x_2$ je $F(x_1) \le F(x_2)$

c)

$$P(X=x) = F(x) - \lim_{y \rightarrow x-} F(y)$$

d)

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) = 0\ ,\ \ \ \ \lim_{x \rightarrow +\infty} F(x) = 1$$

e)

Distribuční funkce $F$ je zprava spojitá a má nejvýše spočetně mnoho nespojitostí

f)

Pro $\forall x_1 < x_2 \in {\rm R} \ \ P(x_1 < X \le x_2) = F(x_2) - F(x_1)$

Diskrétní náhodná veličina - rozdělení diskrétního typu

Nechť U = { je konečná nebo spočetná množina taková, že P $(x_i) > 0 \ \ \forall x_i \in {\bf U}$ a platí

$$\sum_{x_i \in {\bf U}} {\rm P}(X = x_i) = \sum_{x_i \in {\bf U}} p(x_i) = 1$$

a $p(x)$ se nazývá pravděpodobnostní (frekvenční) funkcí náhodné veličiny $X$.

Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny

$$F(x) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)$$

Spojitá náhodná veličina - rozdělení spojitého typu

Pro spojitou náhodnou veličinu existuje nezáporná funkce $f(x)$ taková, že se distribuční funkce $F(x)$ dá vyjádřit pomocí integrálu

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \ {\rm d} t$$

Funkce $f(x)$ se nazývá hustota pravděpodobnosti. V bodech, kde existuje derivace distribuční funkce $F(x)$ a ta existuje skoro všude je $F\acute{\ }(x) = f(x)$. V ostatních bodech lze $f(x)$ definovat libovolně.