Úvod

Aproximace funkce - výpočet funkčních hodnot nejbližší (v nějakém smyslu) funkce v určité třídě funkcí (funkce s nějakými neznámými parametry)

Příklady funkcí používaných pro aproximaci

• Polynom $\Phi_m (x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_m x^m$.
• Zobecněný polynom
  
  $$\Phi_m (x) = c_0 g_0(x) + c_1 g_1 (x) + c_2 g_2(x) + \ldots + c_m g_m(x),$$
  
  
  kde $g_0(x),\ \ldots,\ g_m(x)$ je systém m+1 lineárně nezávislých jednoduchých a dostatečně hladkých funkcí.
• Racionální lomená funkce
  
  $$\Phi_m (x) = \frac{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_k x^k} {b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \ldots + b_l x^l} \ \ \ \ (m=k+l).$$
  
  

• Jiné.

Důvody aproximace - různorodé

• Příliš náročný výpočet funkce (složitý funkční předpis, implicitně zadané funkce, ...)
• Potřeba výpočtu dalších charakteristik funkce (derivace, integrál, ...)
• Analytické vyjádření není známo - funkce daná tabulkou hodnot (spočtených či naměřených)

Typy aproximací

• Interpolační aproximace (interpolace a extrapolace) - hledáme takovou funkci $\Phi_m (x)$, která má v zadaných bodech $x_0, \ldots, x_n$ stejné hodnoty (případně i derivace nejnižších řádů) jako funkce $f(x)$ (prochází body zadanými v tabulce)
  • Globální interpolace - v celém intervalu jsou koeficienty interpolační funkce stejné (např. Lagrangeův či Newtonův interpolační polynom, Hermiteova interpolace)
  • Lokální interpolace - celý interval rozdělen na podintervaly a v každém podintervalu má interpolační funkce jiné koeficienty (např.
    spline)
• Čebyševovy aproximace - hledáme $\Phi_m (x)$ tak, aby se na zadaném intervalu $\left< a,b \right>$ minimalizoval maximální rozdíl mezi $f(x)$ a $\Phi_m (x)$, tj. minimalizujeme
  
  $$\max_{x \in \left< a,b \right>} \vert f(x) - \Phi_m (x)\vert.$$
  
  
  Nazývá se též nejlepší stejnoměrná aproximace. Používá se často pro výpočet hodnot funkcí. K takové interpolaci lze dospět, pokud zvolíme optimální hodnoty $x_0,\ x_1, \ldots,\ x_n$, ve kterých funkci tabelujeme.
• Aproximace metodou nejmenších čtverců - minimalizujeme
  
  $$\hspace*{-4ex} \int_a^b w(x)\ \left[ f(x) - \Phi_m(x) \right]... ... \ \sum_{i=0}^n w(x_i)\ \left[ f(x_i) - \Phi_m(x_i) \right]^2.$$
  
  
  Jde o spojitý nebo diskrétní případ aproximace metodou nejmenších čtverců. U diskrétního případu je vždy $n>m$ a tak funkce $\Phi_m (x)$ neprochází $\forall$ zadanými body. Často se volí $w(x)=1$, pokud $w(x) \ne const$, pak mluvíme o vážené metodě nejmenších čtverců a funkci $w(x)$ nazýváme vahou.
  Pozn. Pokud cílem aproximace výsledků měření metodou nejmenších čtverců není jen nalézt přibližné funkční hodnoty, ale jde především o určení hodnot koeficientů koeficientů $c_0, \ldots, c_m$, stanovení přesnosti určení těchto koeficientů a stanovení, zda je možno dobře aproximovat naměřené hodnoty v dané třídě funkcí, úlohu nazýváme regrese (vyrovnávací počet, modelování dat) a úloha patří do statistického zpracování dat.